“端点效应”模考压轴题的三种解法——分类讨论 洛必塔 导数定义(修正版）

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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“端点效应”模考压轴题的三种解法

——分类讨论    洛必塔    导数定义

湖北省阳新县高级中学    邹生书

题目:2012年河南郑州一模理21题

评注：第2问题是一道“端点效应”问题，这类问题难度较大，很容易丢分，本文通过这个题目的解法比较，分析这类问题造成丢分的原因，探讨这类问题怎么解答才能不丢分少丢分。最传统的解法是：对参数进行分类讨论，需要细心观察，从细微处入手，才能有所突破，由于受时间和能力限制很难完全彻底的进行分类讨论，从而造成丢分是不可避免的。另外一个比较的好的解法是：用洛必塔法则求极限，这种很实用，学生比较容易接受，但问题是解法运用了高等数学知识，担心会扣分。为了回避洛必塔求极限的问题，我们采用导数的极限定义解法，这种解法比较理想，解法不超纲，操作性强，既没有了分类讨论的恐慌和痛苦，又回避了高等数学知识洛必塔法则不必担心扣分。下面给出本题第2问的以上所说的三种解法，方便大家比较，供读者朋友参考。

思路一  对参数分类讨论

解法1：对参数分类讨论求解

点评：注重细节，关注端点和特殊节点，先充分后必要，先易后难，分类讨论。

思路二：分离参数后，求极限

    解法2：用洛必塔法则求极限

注：另解由陕西澄城县庄头中学魏拴文老师提供

参考文献：

[1]李鸿昌。回归导数概念，求解“0/0”型极限题[J],中国数学教育·下半月（高中版）2020 年第1-2 期

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